두 원 넓이 차 극한

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

세 점 $\mathrm{A}$,$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$를 지나는 원의 중심을 $O _{1}$, 반지름을 $r _{1}$, $O _{1}$에서 선분$AB$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고, 세 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$를 지나는 원의 중심을 $O _{2}$, 반지름을 $r _{2}$, $O _{2}$에서 선분$AB$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하자. $\displaystyle \cos ( \angle O _{1} OM ) = \cos \frac{\theta}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{r _{1}}$ $\displaystyle r _{1} = \frac{1}{2 \cos \frac{\theta}{2}}$이고 $\displaystyle f \left( \theta \right) = \pi \frac{1}{4 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}}$ $\displaystyle \cos ( \angle O _{2} ON ) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\frac{1}{2}}{r _{2}}$ $\displaystyle r _{2} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}}$이고 $\displaystyle g \left( \theta \right) = \pi \frac{1}{4 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} -} {\frac{g \left( \theta \right) - f \left( \theta \right)}{\frac{\pi}{2} - \theta}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} -} {} \frac{\frac{\pi}{4 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}} - \frac{\pi}{4 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}}}{\frac{\pi}{2} - \theta}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} -} {\frac{\pi \left( \cos ^{2} \frac{\theta}{2} - \sin ^{2} \frac{\theta}{2} \right)}{\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) 4 \sin ^{2} \frac{\theta}{2} \cos ^{2} \frac{\theta}{2}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} -} {} \frac{\pi \cos \theta}{\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \sin ^{2} \theta}$ $\displaystyle \frac{\pi}{2} - \theta = t$라 하면 $\displaystyle \theta \rightarrow \frac{\pi}{2} - 0$일 때 $t \rightarrow + 0$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{2} -} {} \frac{\pi \cos \theta}{\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \sin ^{2} \theta} = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{\pi \sin t}{t \cos ^{2} t}} = \pi$