두 원 회전체 부피

두 원 $x ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 4 , ( x - 2 ) ^{2} + y ^{2} = 4$ 으로 둘러싸인 어두운 부분은 $\displaystyle y = 2 - \sqrt{4 - x ^{2}} , y = \sqrt{4 - ( x - 2 ) ^{2}}$으로 둘러싸인 부분과 같으므로 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {\pi \left\{ ( - x ^{2} + 4 x ) - ( - x ^{2} + 8 - 4 \sqrt{4 - x ^{2}} ) \right\} dx}$ $\displaystyle = \pi \int _{0} ^{2} {\left\{ 4 x - 8 + 4 \sqrt{4 - x ^{2}} ) \right\} dx}$ $\displaystyle = \pi \left\{ \int _{0} ^{2} {( 4 x - 8 ) dx + 4 \int _{0} ^{2} {\sqrt{4 - x ^{2}} dx}} \right\} = - 8 \pi + 4 \pi ^{2}$ 따라서 $p = - 8 , q = 4$에서 $p ^{2} + q ^{2} = 80$