두 원 격자점 개수 합

[출제의도] 수열의 규칙성 추론하기 (ⅰ) 자연수 $n$에 대하여 $( - 1 , 0 ) \in A _{n} \cap B _{n}$, $( 1 , 0 ) \in A _{n} \cap B _{n}$이다. (ⅱ) $x = 0$일 때, $( 0 + n ) ^{2} + y ^{2} \leq ( n + 1 ) ^{2}$, $y ^{2} \leq 2 n + 1$ $\displaystyle - \sqrt{2 n + 1} \leq y \leq \sqrt{2 n + 1}$이므로 $( x + n ) ^{2} + y ^{2} \leq ( n + 1 ) ^{2}$과$( x - n ) ^{2} + y ^{2} \leq ( n + 1 ) ^{2}$을 모두 만족시키는 정수 $x$, $y$의 순서쌍 $( x , y )$의 개수는 $\displaystyle - \sqrt{2 n + 1} \leq y \leq \sqrt{2 n + 1}$을 만족시키는 모든 정수 $y$의 개수와 같다. $n = 1$일 때, $y$의 개수는 $3$ $n = 2 , 3$일 때, $y$의 개수는 $5$ $n = 4 , 5 , 6 , 7$일 때, $y$의 개수는 $7$ $n = 8 , 9 , 10 , 11$일 때, $y$의 개수는 $9$ $n = 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17$일 때, $y$의 개수는 $11$ $n = 18$일 때, $y$의 개수는 $13$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a _{1} = 3 + 2 = 5$ $a _{2} = a _{3} = 5 + 2 = 7$ $a _{4} = a _{5} = a _{6} = a _{7} = 7 + 2 = 9$ $a _{8} = a _{9} = a _{10} = a _{11} = 9 + 2 = 11$ $a _{12} = a _{13} = a _{14} = a _{15} = a _{16} = a _{17} = 11 + 2 = 13$ $a _{18} = 13 + 2 = 15$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{18} a _{n} = 192$ (참고) $n = 4$인 경우 $A _{4} \cap B _{4} = \left\{ \left( - 1 , 0 \right) , \left( 1 , 0 \right) , \left( 0 , - 3 \right) , \right. \left( 0 , - 2 \right) ,$ $\left. \left( 0 , - 1 \right) , \left( 0 , 0 \right) , \left( 0 , 1 \right) , \left( 0 , 2 \right) , \left( 0 , 3 \right) \right\}$

따라서 $a _{4} = 9$