미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 원 공통현 급수

문제

n≥2n \geq 2인 자연수 nn에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 11인 원 CC를 xx축 방향으로 2n\displaystyle \frac{2}{n}만큼 평행이동시킨 원을 CnC _{n}이라 하자. 원 CC와 원 CnC _{n}의 공통현의 길이를 lnl _{n}이라 할 때, ∑n=2∞1(nln)2=qp\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} \frac{1}{( n l _{n} ) ^{2}} = \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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1919

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해설

△AnOOn\triangle {\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{O}} {\mathrm{O}} _{n}은 이등변삼각형이고, AnBn‾⊥OOn‾\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} _{n} {\mathrm{B}} _{n}} \perp \overline{{\mathrm{O}} {\mathrm{O}} _{n}}이므로 OHn‾=1n\displaystyle \overline{{\mathrm{O}} {\mathrm{H}} _{n}} = {\frac{1}{n}} 12ln=AnHn‾\displaystyle \frac{1}{2} l _{n} = \overline{\mathrm{A} \mathit{_{n}} \mathrm{H} \mathit{_{n}}}=12−(1n)2\displaystyle = \sqrt{1 ^{2} - \left( \frac{1}{n} \right) ^{2}}=n2−1n2=n2−1n\displaystyle = \sqrt{\frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}}} = \frac{\sqrt{n ^{2} - 1}}{n} nln=2n2−1\displaystyle nl _{n} = 2 \sqrt{n ^{2} - 1} ∴(nln)2=4(n2−1)=4(n−1)(n+1)\therefore \left( n l _{n} \right) ^{2} = 4 ( n ^{2} - 1 ) = 4 ( n - 1 ) ( n + 1 ) ∴∑n=2∞1(nln)2=14∑n=2∞1(n−1)(n+1)\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} {\frac{1}{\left( nl _{n} \right) ^{2}} = {\frac{1}{4}} \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} {\frac{1}{( n - 1 ) ( n + 1 )}}} =14∑n=2∞12(1n−1−1n+1)\displaystyle = \frac{1}{4} \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right) =14lim⁡n→∞12{1+12−1n−1n+1}=18×32=316\displaystyle = \frac{1}{4} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{2} \left\{ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right\} = \frac{1}{8} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{16}

태그

#부분분수#공통현

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