두 타원의 접선

직선 $\displaystyle x = \frac{1}{n}$이 두 타원 $\displaystyle C _{1} : \frac{x ^{2}}{2} + y ^{2} = 1$, $\displaystyle C _{2} : 2 x ^{2} + \frac{y ^{2}}{2} = 1$ 과 만나는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{1}{n} , p \right)}$, $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( \frac{1}{n} , q \right)}$ (단, $p > 0$, $q > 0$) 라 하자. 두 점에서의 접선의 방정식을 각각 $l$, $m$이라 하면 $\displaystyle l : \frac{x}{2 n} + py = 1$, $\displaystyle m : \frac{2 x}{n} + \frac{qy}{2} = 1$ 이고, 두 직선의 $x$절편이 각각 $\alpha$, $\beta$이므로 $\alpha = 2 n$, $\displaystyle \beta = \frac{n}{2}$ $6 \leq \alpha - \beta \leq 15$에서 $\displaystyle 6 \leq \frac{3 n}{2} \leq 15$, $4 \leq n \leq 10$ 따라서 자연수 $n$의 개수는 $7$이다.