두 타원의 교점

[출제의도] 타원의 성질을 이용하여 삼각형의 둘레의 길이를 구하는 문제를 해결한다.

두 타원 $C _{1}$, $C _{2}$의 장축의 길이가 같으므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{PF}'}} = {\overline{PA}} + {\overline{\mathrm{PF}'}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = {\overline{PA}}$ 삼각형 $$$\mathrm{PFA}$가 이등변삼각형이므로 선분 $\mathrm{FA}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\angle \mathrm{PMF} = 90 ^\circ$ $\cos \left( \angle \mathrm{AFP} \right)$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{FM}}}}{{\overline{\mathrm{PF}}}}$$\displaystyle = \frac{3}{8}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{FM}} = 3 \mathit{k}$$( k > 0 )$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = 8 \mathit{k}$ 타원 $C _{1}$의 장축의 길이가 $6$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}} = 6 - 8 \mathit{k}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}} = {\overline{\mathrm{OA}}} - {\overline{\mathrm{FA}}} = {\overline{\mathrm{OA}}} - 2 {\overline{\mathrm{FM}}} = 3 - 6 \mathit{k}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F}' M}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{F}' F}} + {\overline{\mathrm{FM}}}$$\displaystyle = 2 {\overline{\mathrm{O} F}} + {\overline{\mathrm{FM}}}$ $= 2 ( 3 - 6 \mathit{k} ) + 3 k$$= 6 - 9 k$ 직각삼각형 $\mathrm{PF}' M$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} ^{2} = \mathrm{\overline{\mathrm{PF}'}} ^{2} - {\overline{F' M}} ^{2}$이고 직각삼각형 $\mathrm{PFM}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{PF}}} ^{2} - {\overline{FM}} ^{2}$이므로 $( 6 - 8 k ) ^{2} - ( 6 - 9 k ) ^{2} = ( 8 k ) ^{2} - ( 3 k ) ^{2}$ $k ( 12 - 17 k ) = 55 k ^{2}$, $12 k ( 6 k - 1 ) = 0$ $k > 0$이므로 $\displaystyle k = \frac{1}{6}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{PFA}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{PA}}} + {\overline{\mathrm{FA}}}$$= 8 k + 8 k + 6 k$$= 22 k$$\displaystyle = \frac{11}{3}$