기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 타원 초점 거리

문제

그림과 같이 타원 x2100+y275=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{75} = 1의 두 초점을 F{\mathrm{F}},F′{\mathrm{F}'}이라 하고, 이 타원 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 선분 F′P\mathrm{F}' P가 타원 x249+y224=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{49} + \frac{y ^{2}}{24} = 1 과 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. F′Q‾=8\displaystyle \mathrm{\overline{F' Q}} = 8일 때, 선분 FP\mathrm{FP}의 길이는? [3점]

①77②294\displaystyle \frac{29}{4}③152\displaystyle \frac{15}{2}④314\displaystyle \frac{31}{4}⑤88

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③

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해설

주어진 보조선을 그리고 PF‾=a\displaystyle \overline{PF} = a라 두면 QF‾=6,PQ‾=12−a\displaystyle \overline{QF} = 6 , \overline{PQ} = 12 - a이므로 직각삼각형PQFPQF(∵∠F′QF=90∘\because \angle F' QF = 90 ^\circ)에서 피타고라스의 정리를 사용하면 a2=(12−a)2+62a ^{2} = ( 12 - a ) ^{2} + 6 ^{2} →∴a=152\displaystyle \rightarrow \therefore a = \frac{15}{2}

태그

#타원#초점#피타고라스

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