대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 수열 점화식

문제

두 수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}을 다음과 같이 정의하자.

㈎ a1=0,b1=2a _{1} = 0 , b _{1} = 2 ㈏ nn이 짝수이면 an=an−1+bn−1n,bn=bn−1−bn−1n\displaystyle a _{n} = a _{n-1} + \frac{b _{n-1}}{n} , b _{n} = b _{n-1} - \frac{b _{n-1}}{n}이다. ㈐ nn이 11보다 큰 홀수이면 an=an−1−an−1n,bn=bn−1+an−1n\displaystyle a _{n} = a _{n-1} - \frac{a _{n-1}}{n} , b _{n} = b _{n-1} + \frac{a _{n-1}}{n}이다.

a41=qp\displaystyle a _{41} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값은? (단, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [4점] ①7979②8080③8181④8282⑤8383

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③

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해설

조건 (나)의 두 식을 더하면 an+bn=an−1+bn−1a _{n} + b _{n} = a _{n-1} + b _{n-1} 조건 (다)의 두 식을 더하면 an+bn=an−1+bn−1a _{n} + b _{n} = a _{n-1} + b _{n-1} 따라서 모든 자연수 nn에 대하여 an+1+bn+1=an+bna _{n+1} + b _{n+1} = a _{n} + b _{n} 그런데 a1+b1=0+2=2a _{1} + b _{1} = 0 + 2 = 2이므로 an+bn=2a _{n} + b _{n} = 2 ⋯⋯ ㉠ 조건 (나)에서 a2na _{2n}=a2n−1+b2n−12n\displaystyle = a _{2n-1} + \frac{b _{2n-1}}{2 n} =a2n−1+2−a2n−12n\displaystyle = a _{2n-1} + \frac{2 - a _{2n-1}}{2 n} (∵ ㉠) =2n−12n⋅a2n−1+1n\displaystyle = \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot a _{2n-1} + \frac{1}{n} ⋯⋯ ㉡ 조건 (다)에서 a2n+1a _{2n+1}=a2n−a2n2n+1\displaystyle = a _{2n} - \frac{a _{2n}}{2 n + 1} =2n2n+1⋅a2n\displaystyle = \frac{2 n}{2 n + 1} \cdot a _{2n} =2n2n+1⋅(2n−12n⋅a2n−1+1n)\displaystyle = \frac{2 n}{2 n + 1} \cdot \left( \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot a _{2n-1} + \frac{1}{n} \right) (∵ ㉡) =2n−12n+1⋅a2n−1+22n+1\displaystyle = \frac{2 n - 1}{2 n + 1} \cdot a _{2n-1} + \frac{2}{2 n + 1} ∴ (2n+1)a2n+1=(2n−1)a2n−1+2( 2 n + 1 ) a _{2n+1} = ( 2 n - 1 ) a _{2n-1} + 2 ∴ cn=(2n−1)a2n−1c _{n} = ( 2 n - 1 ) a _{2n-1}이라 하면 수열 {cn}\left\{ c _{n} \right\}은 첫째항이 a1=0a _{1} = 0이고 공차가 22인 등차수열을 이룬다. ∴ cn=(2n−1)a2n−1=2(n−1)c _{n} = ( 2 n - 1 ) a _{2n-1} = 2 ( n - 1 ) ∴ a2n−1=2n−22n−1\displaystyle a _{2n-1} = \frac{2 n - 2}{2 n - 1} ∴ a41a _{41}=4041\displaystyle = \frac{40}{41}

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