두 쌍곡선 사각형

[그림 1]

[그림 1]과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} = a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{QF}} = b$라 하면 점 $\mathrm{F}$와 점 $\mathrm{F}'$, 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{Q}$는 각각 원점에 대해 대칭이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{QF}'}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} \parallel \overline{\mathrm{QF}'}$이므로 $\square {\mathrm{PFQF}'}$은 평행사변형이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} = \overline{\mathrm{QF}'} = a$이고 쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{QF}} - \overline{\mathrm{QF}'} = b - a = 2$ ……㉠ 이다. 주어진 조건에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} \times \overline{\mathrm{QF}} = \overline{\mathrm{QF}'} \times \overline{\mathrm{QF}} = ab = 4$ ……㉡ 이므로 ㉠，㉡을 연립하면 $\displaystyle a = \sqrt{5} - 1$, $\displaystyle b = \sqrt{5} + 1$이다.

[그림 2]

[그림 2]와 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG}} = c$, $\displaystyle \overline{\mathrm{QG}} = d$라 하면 점 $\mathrm{G}$와 점 $\mathrm{G}'$, 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{Q}$는 각각 원점에 대해 대칭이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG}} = \overline{\mathrm{QG}'}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG}} \parallel \overline{\mathrm{QG}'}$이므로 $\square {\mathrm{PGQG}'}$은 평행사변형이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG}} = \overline{\mathrm{QG}'} = c$이고 쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{QG}} - \overline{\mathrm{QG}'} = d - c = 2$ ……㉢ 이다. 주어진 조건에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG}} \times \overline{\mathrm{QG}} = \overline{\mathrm{QG}'} \times \overline{\mathrm{QG}} = cd = 8$ ……㉣ 이므로 ㉢，㉣을 연립하면 $c = 2$, $d = 4$이다. 따라서 구하는 값은 $\displaystyle a + b + c + d = 6 + 2 \sqrt{5}$이다.