두 쌍곡선

[출제의도] 초점이 일치하는 두 쌍곡선 위의 점이 조건을 만족시킬 때, 직선의 기울기를 구할 수 있는가 쌍곡선 $\displaystyle C _{1} : x ^{2} - \frac{y ^{2}}{24} = 1$의 주축의 길이는 $2$, 쌍곡선 $\displaystyle C _{2} : \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{21} = 1$의 주축의 길이는 $4$, 두 쌍곡선 $C _{1}$, $C _{2}$의 초점은 모두 $\mathrm{F} \left( 5 , 0 \right)$, $\mathrm{F}' \left( - 5 , 0 \right)$이다. 점 $\mathrm{P}$는 쌍곡선 $C _{1}$ 위에 있는 제$2$사분면 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \mathrm{\overline{PF'}} + 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{Q}$는 쌍곡선 $C _{2}$ 위에 있는 제$2$사분면 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} = \mathrm{\overline{QF'}} + 4$ $\cdots \cdots$ ㉡ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} + \mathrm{\overline{QF}}$, $\displaystyle 2 \mathrm{\overline{PF'}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + \mathrm{\overline{PF'}}$이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항의 성질에 의하여 $\displaystyle 4 \mathrm{\overline{PF'}} = \left( \mathrm{\overline{PQ}} + \mathrm{\overline{QF}} \right) + \left( \mathrm{\overline{PF}} + \mathrm{\overline{PF'}} \right)$ 이때 ㉡에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} + \mathrm{\overline{QF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PQ}} + \mathrm{\overline{QF'}} + 4$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PF'}} + 4$ 이므로 $\displaystyle 4 \mathrm{\overline{PF'}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PF'}} + 4 + \mathrm{\overline{PF}} + \mathrm{\overline{PF'}}$ $\displaystyle 2 \mathrm{\overline{PF'}} = 4 + \mathrm{\overline{PF}}$ ㉠을 대입하면 $\displaystyle 2 \mathrm{\overline{PF'}} = 4 + \left( \mathrm{\overline{PF'}} + 2 \right)$ 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = 6$ 삼각형 $\mathrm{PF}' F$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = 6$, $\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = 10$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 8$인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \tan \left( \mathrm{\angle} PF' F \right) = \frac{\mathrm{\overline{PF}}}{\mathrm{\overline{PF'}}} = \frac{4}{3}$ 따라서 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기 $m$도 $\displaystyle \frac{4}{3}$이다. $\displaystyle 60 m = 60 \times \frac{4}{3} = 80$