두 실수식의 최솟값

주어진 식을 변형하면 $\displaystyle x ^{2} + y ^{2} + 1 + \frac{4}{x ^{2} + y ^{2} + 1} + ( x - 1 ) ^{2} - 2$ 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $x ^{2} + y ^{2} + 1 > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle x ^{2} + y ^{2} + 1 + \frac{4}{x ^{2} + y ^{2} + 1} \geq 2 \sqrt{4} = 4$ (단, 등호는 $\displaystyle x ^{2} + y ^{2} + 1 = \frac{4}{x ^{2} + y ^{2} + 1}$ 즉, $x ^{2} + y ^{2} = 1$일 때, 성립한다.) 또한, $x$는 실수이므로 $( x - 1 ) ^{2} \geq 0$ (단, 등호는 $x = 1$일 때, 성립) 따라서 주어진 식은 $x = 1$, $y = 0$일 때, 최솟값 $4 + 0 - 2 = 2$를 갖는다.