두 실근의 관계로 정한 함수의 적분

함수 $f \left( x \right)$가 $x < 0$에서 $f \left( x \right) = - 4 xe ^{4 x ^{2}}$이므로 $f' \left( x \right) = - 4 e ^{4 x ^{2}} - 32 x ^{2} e ^{4 x ^{2}}$$= - 4 e ^{4 x ^{2}} \left( 1 + 8 x ^{2} \right)$ 따라서 $x < 0$인 임의의 실수 $x$에 대하여 $f' \left( x \right) < 0$이므로 다음 그림과 같이 $x < 0$에서 함수 $f \left( x \right)$는 감소한다.

이때 방정식 $f \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근 $g \left( t \right)$, $h \left( t \right)$ $\left( g \left( t \right) < 0 < h \left( t \right) \right)$에 대하여 $2 g \left( t \right) + h \left( t \right) = k$ $f \left( x \right) = - 4 xe ^{4 x ^{2}}$에서 $f \left( g \left( t \right) \right) = - 4 g \left( t \right) e ^{4 \left\{ g \left( t \right) \right\} ^{2}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f \left( h \left( t \right) \right) = t$에서 $h \left( t \right) = k - 2 g \left( t \right)$이므로 $f \left( k - 2 g \left( t \right) \right) = t$ 이때 $k - 2 g \left( t \right) > 0$이므로 $k - 2 g \left( t \right) = x$라 하면 ㉠에서 $f \left( x \right)$$\displaystyle = - 4 \left( \frac{k - x}{2} \right) e ^{4 {\left( \frac{k - x}{2} \right)} ^{2}}$$= - 2 \left( k - x \right) e ^{\left( k - x \right) ^{2}}$ $\left( x > 0 \right)$ $\displaystyle \int _{0} ^{7} {} f \left( x \right) dx = e ^{4} - 1$이므로 $k = 0$이면 $\displaystyle \int _{0} ^{7} {} \left( 2 x e ^{x} {}^{2} \right) dx$에서 $x ^{2} = p$라 하면 $x = 0$일 때 $p = 0$이고, $x = 7$일 때 $p = 49$이며 $\displaystyle 2 x = \frac{dp}{dx}$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{7} {} \left( 2 x e ^{x} {}^{2} \right) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{49} {} e ^{p} dp$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} e ^{p} \end{array} \right] _{0} ^{49}$$= e ^{49} - 1$ 즉 $e ^{49} - 1 > e ^{4} - 1$이므로 $0 < k < 7$이다. $\therefore$ $\displaystyle f \left( x \right) = \begin{cases} - 4 xe ^{4x} {}^{2} & & \left( x < 0 \right) \\ 0 & & \left( 0 \leq x < k \right) \\ - 2 \left( k - x \right) e ^{\left( k - x \right) ^{2}} & & \left( x \geq k \right) \end{cases}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\displaystyle \int _{0} ^{7} {} f \left( x \right) dx = e ^{4} - 1$에서 $\displaystyle \int _{0} ^{k} {} f \left( x \right) dx + \int _{k} ^{7} {} f \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 0 \end{array} \right] _{0} ^{k} + \int _{k} ^{7} {} \left\{ - 2 \left( k - x \right) e ^{\left( k - x \right) ^{2}} \right\} dx$ $\displaystyle = \int _{k} ^{7} {} \left\{ - 2 \left( k - x \right) e ^{\left( k - x \right) ^{2}} \right\} dx$ 이고 $\left( k - x \right) ^{2} = q$라 하면 $x = k$일 때 $q = 0$, $x = 7$일 때 $q = \left( 7 - k \right) ^{2}$이고 $\displaystyle 2 \left( k - x \right) = \frac{dq}{dx}$이므로 $\displaystyle \int _{k} ^{7} {} \left\{ - 2 \left( k - x \right) e ^{\left( k - x \right) ^{2}} \right\} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\left( 7 - k \right) ^{2}} {} e ^{q} dq$$= e ^{\left( 7 - k \right) ^{2}} - 1$ 즉 $e ^{\left( 7 - k \right) ^{2}} - 1 = e ^{4} - 1$에서 $\left( 7 - k \right) ^{2} = 4$ $7 - k = 2$ 또는 $7 - k = - 2$ $\therefore$ $k = 5$ ($\because$ $0 < k < 7$) ㉡에서 $f \left( x \right) = - 2 \left( 5 - x \right) e ^{\left( 5 - x \right) ^{2}}$ $\left( x \geq 5 \right)$이므로 $\displaystyle \frac{f \left( 9 \right)}{f \left( 8 \right)}$$\displaystyle = \frac{- 2 \times \left( 5 - 9 \right) \times e ^{\left( - 4 \right) ^{2}}}{- 2 \times \left( 5 - 8 \right) \times e ^{\left( - 3 \right) ^{2}}}$$\displaystyle = {\frac{4}{3}} e ^{7}$