두 선분과 모두 만나는 k가 하나뿐일 조건

두 범위가 한 값에서만 겹치려면 한 범위의 끝값이 다른 범위의 끝값과 같아야 한다. 즉 정점과 두 선분의 끝점이 한 직선 위에 놓인다. 직선 $y = k \left( x - 1 \right) + 6$은 $k$의 값에 관계없이 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( 1 , 6 \right)}$을 지난다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 직선 $x = 1$의 오른쪽에 있고 직선 $\mathrm{PA}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{7 - 6}{3 - 1} = \frac{1}{2}$, 직선 $\mathrm{PB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{10 - 6}{5 - 1} = 1$ 이므로 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 $k$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac{1}{2} \leq k \leq 1$ 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$는 직선 $x = 1$의 왼쪽에 있고 직선 $\mathrm{PD}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{2 - 6}{- 1 - 1} = 2$, 직선 $\mathrm{PC}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{t - 6}{- 3 - 1} = \frac{6 - t}{4}$ $\displaystyle \frac{6 - t}{4} > 2$이면 선분 $\mathrm{CD}$와 만나는 범위는 $\displaystyle 2 \leq k \leq \frac{6 - t}{4}$가 되어 $\displaystyle \frac{1}{2} \leq k \leq 1$과 겹치지 않는다. $\displaystyle \frac{6 - t}{4} \leq 2$이면 선분 $\mathrm{CD}$와 만나는 범위는 $\displaystyle \frac{6 - t}{4} \leq k \leq 2$ 이 범위와 $\displaystyle \frac{1}{2} \leq k \leq 1$이 오직 한 값에서 겹치려면 $\displaystyle \frac{6 - t}{4} = 1$ 따라서 $t = 2$이고, 이때 공통인 $k$의 값은 $1$로 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$가 한 직선 $y = x + 5$ 위에 있다.