미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 삼각형 넓이비 극한

문제

0<θ<π2,θ≠π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2} , \theta \ne \frac{\pi}{4}일 때, 곡선 y=cos⁡xy = \cos x 위의 점 P(θ,cos⁡θ)\mathrm{P} ( \theta , \cos \theta )를 지나고 xx축에 수직인 직선과 곡선 y=sin⁡xy = \sin x 의 교점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 점 Q\mathrm{Q}를 지나고 xx축에 평행한 직선과 점 R(π4,sin⁡π4)\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{\pi}{4} , \sin \frac{\pi}{4} \right. )를 지나고 xx축에 수직인 직선의 교점을 S\mathrm{S}라 하자. 삼각형 PQR\mathrm{P} QR의 넓이를 f(θ)f ( \theta ), 삼각형 QSR\mathrm{Q} SR의 넓이를 g(θ)g ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→π4f(θ)g(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{f ( \theta )}{g ( \theta )}의 값은? [4점]

①22\displaystyle 2 \sqrt{2}②22③3\displaystyle \sqrt{3}④2\displaystyle \sqrt{2}⑤11

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②

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해설

0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}일 때, f(θ)=12(cos⁡θ−sin⁡θ)(π4−θ)\displaystyle f ( \theta ) = \frac{1}{2} ( \cos \theta - \sin \theta ) \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) g(θ)=12(π4−θ)(22−sin⁡θ)\displaystyle g ( \theta ) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin \theta \right)이므로 f(θ)g(θ)=cos⁡θ−sin⁡θ22−sin⁡θ\displaystyle \frac{f ( \theta )}{g ( \theta )} = \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin \theta} π4<θ<π2\displaystyle \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}일 때, f(θ)=12(sin⁡θ−cos⁡θ)(θ−π4)\displaystyle f ( \theta ) = \frac{1}{2} ( \sin \theta - \cos \theta ) \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) g(θ)=12(θ−π4)(sin⁡θ−22)\displaystyle g ( \theta ) = \frac{1}{2} \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) \left( \sin \theta - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)이므로 f(θ)g(θ)=sin⁡θ−cos⁡θsin⁡θ−22=cos⁡θ−sin⁡θ22−sin⁡θ\displaystyle \frac{f ( \theta )}{g ( \theta )} = \frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin \theta} ∴ lim⁡θ→π4f(θ)g(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{f ( \theta )}{g ( \theta )} =lim⁡θ→π4cos⁡θ−sin⁡θ22−sin⁡θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin \theta} =lim⁡θ→π4(cos⁡θ−sin⁡θ)(cos⁡θ+sin⁡θ)(22+sin⁡θ)(22−sin⁡θ)(22+sin⁡θ)(cos⁡θ+sin⁡θ)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{( \cos \theta - \sin \theta ) ( \cos \theta + \sin \theta ) \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin \theta \right)}{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin \theta \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin \theta \right) ( \cos \theta + \sin \theta )} =lim⁡θ→π4(cos⁡2θ−sin⁡2θ)(22+sin⁡θ)(12−sin⁡2θ)(cos⁡θ+sin⁡θ)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{( \cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta ) \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin \theta \right)}{\left( \frac{1}{2} - \sin ^{2} \theta \right) ( \cos \theta + \sin \theta )} =lim⁡θ→π4(cos⁡2θ−sin⁡2θ)(2+2sin⁡θ)(1−2sin⁡2θ)(cos⁡θ+sin⁡θ)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{( \cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta ) ( \sqrt{2} + 2 \sin \theta )}{( 1 - 2 \sin ^{2} \theta ) ( \cos \theta + \sin \theta )} =lim⁡θ→π4cos⁡2θ(2+2sin⁡θ)cos⁡2θ(cos⁡θ+sin⁡θ)\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2 \theta ( \sqrt{2} + 2 \sin \theta )}{\cos 2 \theta ( \cos \theta + \sin \theta )} =lim⁡θ→π42+2sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} + 2 \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} =2+222+22=222=2\displaystyle = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2

태그

#삼각함수의 극한#넓이

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