공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 삼각형 넓이 곱 최대

문제

좌표평면에서 제 $1$ 사분면 위의 점 $\mathrm{P} \mathit{(} a , b )$ 에 대하여 $a + 2 b = 10$ 이 성립한다. $x$ 축 위의 두 점 $\mathrm{A} \mathit{(} 2 , 0 )$ , $\mathrm{B} \mathit{(} 6 , 0 )$ 과 $y$ 축 위의 두 점 $\mathrm{C} \mathit{(} 0 , 1 )$ , $\mathrm{D} \mathit{(} 0 , 3 )$ 에 대하여 두 삼각형 $\mathrm{ABP}$ , $\mathrm{CDP}$ 의 넓이를 각각 $S _{1}$ , $S _{2}$ 라 할 때, $S _{1}$ 과 $S _{2}$ 의 곱 $S _{1} S _{2}$ 의 최대값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 절대부등식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 4 \times b = 2 b$ , $\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \times 2 \times a = a$ 이므로 $S _{1} + S _{2} = a + 2 b = 10$ 이때 $S _{1} > 0$ , $S _{2} > 0$ 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle 10 = S _{1} + S _{2} \geq 2 \sqrt{S _{1} S _{2}}$ (단, 등호는 $S _{1} = S _{2}$ 일 때 성립) $\displaystyle \sqrt{S _{1} S _{2}} \leq 5$ 이므로 $S _{1} S _{2} \leq 25$ 따라서 $S _{1} S _{2}$ 의 최대값은 $25$ 이다.

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