두 삼각함수 그래프의 교점 개수

$g \left( x \right)$$= \cos ax$ 의 주기 $\displaystyle \frac{2 \pi}{a}$, 한 개가 $\displaystyle x < \frac{\pi}{4}$의 범위에 있으면서 그래프는 $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$와 만나면 교점의 개수가 $3$이 된다.

따라서 $\displaystyle \frac{2 \pi}{a} < \frac{\pi}{4}$을 만족하므로 $a > 8$ 즉, $\displaystyle \cos \frac{a}{4} \pi = \frac{\sqrt{2}}{2}$를 만족하는 $a$의 최솟값은 $9$ $\therefore p = 9$

위의 그래프처럼 주기는 $\displaystyle \frac{2}{9} \pi$이며 닫힌구간 $\displaystyle \left[ 0 , \frac{11}{12} \pi \right]$에는 네 개의 주기 $\displaystyle \frac{2}{9} \pi$, $\displaystyle \frac{4}{9} \pi$, $\displaystyle \frac{6}{9} \pi$, $\displaystyle \frac{8}{9} \pi$가 있다. $x = 0$에서 한 번 만나며, 세 주기 $\displaystyle \frac{2}{9} \pi$, $\displaystyle \frac{4}{9} \pi$, $\displaystyle \frac{6}{9} \pi$의 양쪽에서 각각 한 번씩 만나고 $\displaystyle \frac{8}{9} \pi$에서는 왼쪽에서 한번 만난다. 즉, 교점의 개수 $q$는 $q = 8$ $\therefore p + q = 17$