두 로그함수와 선분의 길이

직선 $l$을 $y = - x + m$이라 두면 $\mathrm{A} \mathit{(} a , - a + m ) , \mathrm{B} \mathit{(} c , - c + m )$ 그러므로 조건에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( a - c ) ^{2} + ( a - c ) ^{2}}$ $\displaystyle \sqrt{2 ( a - c ) ^{2}} = \sqrt{2}$ $\therefore a - c = - 1 ( \because 1 < a < c )$ 또, 점 ${\mathrm{A}} ( a , b )$는 곡선 $y = \log _{2} x$ 위의 점이고, 점 ${\mathrm{B}} ( c , d )$는 곡선 $y = \log _{4} ( x + 2 )$ 위의 점이므로 $b = \log _{2} a , d = \log _{4} ( c + 2 )$이다. $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}}$의 기울기가 $- 1$이므로 $\displaystyle \frac{\log _{2} a - \log _{4} ( c + 2 )}{a - c} = - 1$ $\displaystyle \log _{2} a - \frac{1}{2} {\mathrm{\log}} _{2} ( c + 2 ) = 1 ( \because a - c = - 1 )$ $2 \log _{2} a - \log _{2} ( c + 2 ) = 2$, $\displaystyle \log _{2} \frac{a ^{2}}{c + 2} = 2$ $a ^{2} = 4 ( c + 2 )$ $a ^{2} - 4 a - 12 = ( a - 6 ) ( a + 2 ) = 0$ $( \because c = a + 1 )$ $\therefore a = 6 ( \because 1 < a )$ 따라서 $a + c = 6 + 7 = 13$이다.