대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 로그곡선과 점 C

문제

두 곡선 $y = \log _{4} x$ , $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{2}} x$ 와 직선 $x = a$ ( $a > 1$ )가 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고, 점 $\mathrm{B}$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y = \log _{4} x$ 와 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 3$ 일 때, 점 $\mathrm{C}$ 의 $x$ 좌표는? [4점]

① $\displaystyle \frac{1}{32}$ ② $\displaystyle \frac{1}{16}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{8}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{4}$ ⑤ $\displaystyle \frac{1}{2}$

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②

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하여 점의 좌표를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \log \mathit{_{4}} a - \log _{\frac{1}{2}} a$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \mathrm{\log} _{2} \mathit{a} + \log _{2} a$ $\displaystyle = \frac{3}{2} \log _{2} a = 3$ 이므로 $\log _{2} a = 2$ 에서 $a = 4$ 이때, 점 $\mathrm{B}$ 의 좌표는 $( 4 , - 2 )$ 이므로 점 $\mathrm{C}$ 의 $y$ 좌표는 $- 2$ 이다. 점 $\mathrm{C}$ 의 $x$ 좌표를 $p$ 라 하면 $- 2 = \log _{4} p$ 이므로 $\displaystyle p = 4 ^{- 2} = \frac{1}{16}$

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