기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 평면의 교선 최단거리

문제

좌표공간에서 평면 $x = 3$ 과 평면 $z = 1$ 의 교선을 $l$ 이라 하자. 점 $\mathrm{P}$ 가 직선 $l$ 위를 움직일 때, 선분 $\mathrm{O} P$ 의 길이의 최솟값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) [3점] ① $\displaystyle 2 \sqrt{2}$ ② $\displaystyle \sqrt{10}$ ③ $\displaystyle 2 \sqrt{3}$ ④ $\displaystyle \sqrt{14}$ ⑤ $\displaystyle 3 \sqrt{2}$

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②

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해설

점 $P$ 의 좌표를 $( 3 , t , 1 )$ ( $t$ 는 실수)로 놓으면 $\displaystyle \overline{OP} = \sqrt{3 ^{2} + t ^{2} + 1 ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{t ^{2} + 10}$ 이므로 $t = 0$ 일 때, $\displaystyle \overline{OP}$ 의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{10}$ 이다.

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