두 포물선의 초점을 잇는 선분

[출제의도] 포물선의 정의와 방정식을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가? 두 점 $\mathrm{F} _{1}$, $\mathrm{F} _{2}$의 좌표가 각각 $\mathrm{F} _{1} ( \mathit{p} , a )$, $\mathrm{F} _{2} ( \mathit{-} 1 , 0 )$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{F} _{1} F _{2}} = 3$이므로 $( p + 1 ) ^{2} + a ^{2} = 9$ $\cdots \cdots$ ㉠ 그림과 같이 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선과 점 $\mathrm{Q}$를 지나고 $y$축에 수직인 직선이 만나는 점을 $\mathrm{R}$라 하자.

직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기는 직선 $\mathrm{F} _{1} F _{2}$의 기울기와 같은 $\displaystyle \frac{a}{p + 1}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{PQR}$에서 양수 $t$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = at$, $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = ( p + 1 ) t$로 놓을 수 있다. 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 1$이므로 $a ^{2} t ^{2} + ( p + 1 ) ^{2} t ^{2} = 1$에서 $\displaystyle t ^{2} = \frac{1}{a ^{2} + ( p + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{9}$ 즉, $\displaystyle t = \frac{1}{3}$ 한편, 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 각각 $x _{1}$, $x _{2}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF} _{1}} = p + x _{1}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{QF} _{2}} = 1 - x _{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PF} _{1}} + \overline{\mathrm{QF} _{2}} = 2$이고 $\displaystyle x _{1} - x _{2} = ( p + 1 ) t = \frac{1}{3} ( p + 1 )$ 이므로 $\left( p + x _{1} \right) + \left( 1 - x _{2} \right) = 2$에서 $p = 1 - \left( x _{1} - x _{2} \right)$$\displaystyle = 1 - \frac{1}{3} ( p + 1 )$ 즉, $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ ㉠에서 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} + 1 \right) ^{2} + a ^{2} = 9$ 이므로 $\displaystyle a ^{2} = \frac{27}{4}$ 따라서 $\displaystyle a ^{2} + p ^{2} = \frac{27}{4} + \frac{1}{4} = 7$