두 포물선과 삼각형 넓이

[출제의도] 두 포물선의 관계를 추론하여 삼각형의 넓이를 구한다. 좌표평면에서 점 $\mathrm{F} _{1}$을 원점, 직선 $\mathrm{A} _{1} F _{1}$을 $x$축, 직선 $\mathrm{F} _{1} F _{2}$를 $y$축이라 하자. 포물선 $P _{1}$의 방정식을 $y ^{2}$$= 4 p \left( x + p \right)$ ($p > 0$)이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} F _{1}}}$$= p$, $\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} C}}$$= 2 p$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} C}}$$\displaystyle = \sqrt{p ^{2} + ( 2 p ) ^{2}}$$\displaystyle = p \sqrt{5}$ 조건 (가)에서 $\displaystyle p \sqrt{5}$$\displaystyle = 5 \sqrt{5}$이므로 $p$$= 5$ 두 선분 $\mathrm{A} _{1} A _{2}$, $\mathrm{F} _{1} F _{2}$의 중점은 서로 일치하므로 사각형 $\mathrm{A} _{1} F _{1} A _{2} F _{2}$는 평행사변형이다. 포물선 $P _{1}$의 준선 $l _{1}$의 방정식은 $x$$= \mathit{-} 10$이고 포물선 $P _{2}$의 준선 $l _{2}$의 방정식은 $x$$= 10$이다. 점 $\mathrm{B}$에서 두 직선 $l _{1}$, $l _{2}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H} _{1}$, $\mathrm{H} _{2}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH _{1}}} + {\overline{BH _{2}}}$$= 20$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{B}$는 두 포물선이 만나는 점이므로 포물선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} B}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{BH _{1}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{F _{2} B}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{BH _{2}}}$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH _{1}}} - {\overline{BH _{2}}}$$\displaystyle = \frac{48}{5}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH _{1}}}$$\displaystyle = \frac{74}{5}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BH _{2}}}$$\displaystyle = \frac{26}{5}$ 점 $\mathrm{B}$에서 직선 $\mathrm{F} _{1} F _{2}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}}$$\displaystyle \mathrm{=} 10 - {\overline{BH _{2}}}$$\displaystyle = \frac{24}{5}$ 직각삼각형 $\mathrm{BF} _{2} H$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{F _{2} H}} ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{F _{2} B}} ^{2} - {\overline{BH}} ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{=} \left( {\overline{F _{2} B}} - {\overline{BH}} \right) \left( {\overline{F _{2} B}} + {\overline{BH}} \right)$ $\displaystyle \mathrm{=} \left( \frac{26}{5} - \frac{24}{5} \right) \times \left( \frac{26}{5} + \frac{24}{5} \right)$ $= 4$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{F _{2} H}}$$= 2$ 직각삼각형 $\mathrm{F} _{1} BH$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} H}} ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{F _{1} B}} ^{2} - {\overline{BH}} ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{=} \left( {\overline{F _{1} B}} - {\overline{BH}} \right) \left( {\overline{F _{1} B}} + {\overline{BH}} \right)$ $\displaystyle = \left( \frac{74}{5} - \frac{24}{5} \right) \times \left( \frac{74}{5} + \frac{24}{5} \right)$ $= 196$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} H}}$$= 14$ $\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} F _{2}}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{F _{1} H}} + \overline{F _{2} H}$$= 14 + 2$$= 16$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{BF} _{2} F _{1}$의 넓이 $S$는 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{F _{1} F _{2}}} \times {\overline{BH}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{24}{5}$$\displaystyle = \frac{192}{5}$ 따라서 $10 S$$\displaystyle = 10 \times \frac{192}{5}$$= 384$