공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 포물선과 정사각형

문제

그림과 같이 두 함수 $y = - ( x - 1 ) ^{2} + 1$ , $y = x ^{2}$ 의 그래프 위에 각각 점 $\mathrm{A}$ 와 $\mathrm{C}$ 를, 직선 $y = x$ 위에 서로 다른 두 점 $\mathrm{B}$ 와 $\mathrm{D}$ 를 잡아 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 정사각형이 되도록 하였다. 이때, 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 의 한 변의 길이는? (단, 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 의 $x$ 좌표는 양수이다.) [4점]

$y = x ^{2}$ $y = - ( x - 1 ) ^{2} + 1$

① $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2} - 1$ ② $\displaystyle \sqrt{5} - 2$ ③ $\displaystyle 2 - \sqrt{3}$ ④ $\displaystyle \sqrt{3} - 1$ ⑤ $\displaystyle 3 - \sqrt{5}$

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②

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해설

[출제의도] 평행이동과 대칭이동의 의미를 이해하여 문제해결하기 점 $\mathrm{C}$ 의 $x$ 좌표를 $a$ 라 하면, 점 $\mathrm{C}$ 의 좌표는 $\left( a , a ^{2} \right)$ 이 된다. 그런데 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 정사각형이고 두 점 $\mathrm{B} , D$ 가 직선 $y = x$ 위의 점이므로, 점 $\mathrm{B}$ 의 좌표는 $\left( a ^{2} , a ^{2} \right)$ , 점 $\mathrm{D}$ 의 좌표는 $\left( a , a \right)$ , 점 $\mathrm{A}$ 의 좌표는 $\left( a ^{2} , a \right)$ 가 된다. 한편, 점 $\mathrm{A}$ 가 곡선 $y = - \left( x - 1 \right) ^{2} + 1 \cdots \text{①}$ 위의 점이므로 $\mathrm{A}$ $\left( a ^{2} , a \right)$ 를 ①의 식에 대입하면, $a = - \left( a ^{2} - 1 \right) ^{2} + 1 \cdots \text{ ②}$가 성립한다. ②의 식을 $a$ 에 관하여 정리하면, $a ^{4} - 2 a ^{2} + a = 0$ ⇔ $a \left( a - 1 \right) \left( a ^{2} + a - 1 \right) = 0$ 이다. 이때, $a \ne 0 , a \ne 1$ ( $\because$ $\mathrm{B}$ , $\mathrm{D}$ 는 서로 다른 점)이므로 $a ^{2} + a - 1 = 0$ 에서 $\displaystyle a = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \left( \because a > 0 \right)$ 이다. 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 다음과 같다. $a - a ^{2} = a - ( - a + 1 )$ $= 2 a - 1$ $\displaystyle = \sqrt{5} - 2$

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