미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 포물선 평행 접선 교점

문제

오른쪽 그림과 같이 포물선 y=−3x2y = - 3 x ^{2} 위에 서로 다른 두 점 P1,P2\mathrm{P} _{1} , P _{2} 가 있고, 포물선 y=(x−4)2y = ( x - 4 ) ^{2}위에 두 점 Q1,Q2\mathrm{Q} _{1} , Q _{2} 가 있다. 점 P1\mathrm{P} _{1} 에서의 접선과 점 Q1\mathrm{Q} _{1} 에서의 접선이 서로 평행하고, 점 P2\mathrm{P} _{2} 에서의 접선과 점 Q2\mathrm{Q} _{2} 에서의 접선이 서로 평행할 때, 직선 P1Q1\mathrm{P} _{1} Q _{1}과 직선 P2Q2\mathrm{P} _{2} Q _{2}의 교점의 좌표는 ? [3점]

①(2,1)( 2 , 1 )②(2,0)( 2 , 0 )③(1,1)( 1 , 1 )④(1,−1)( 1 , - 1 )⑤(1,0)( 1 , 0 )

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⑤

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해설

P1(a,−3a2),P2(b,−3b2),Q1(c,(c−4)2),Q2(d,(d−4)4)P _{1} ( a , - 3 a ^{2} ) , P _{2} ( b , - 3 b ^{2} ) , Q _{1} ( c , ( c - 4 ) ^{2} ) , Q _{2} ( d , ( d - 4 ) ^{4} ) f(x)=−3x2,g(x)=(x−4)2f ( x ) = - 3 x ^{2} , g ( x ) = ( x - 4 ) ^{2}라 두면 f′(x)=−6x,g′(x)=2(x−4)f' ( x ) = - 6 x , g' ( x ) = 2 ( x - 4 ) f′(a)=g′(c)f' ( a ) = g' ( c ) 에서 c=−3a+4c = - 3 a + 4 f′(b)=g′(d)f' ( b ) = g' ( d ) 에서 d=−3b+4d = - 3 b + 4 직선 P1Q1P _{1} Q _{1}의 방정식은 y=(c−4)2+3a2c−a(x−a)−3a2\displaystyle y = \frac{( c - 4 ) ^{2} + 3 a ^{2}}{c - a} ( x - a ) - 3 a ^{2} =−3a2a−1(x−a)−3a2\displaystyle = \frac{- 3 a ^{2}}{a - 1} ( x - a ) - 3 a ^{2} 직선 P2Q2P _{2} Q _{2}의 방정식은 y=(d−4)2+3b2d−b(x−b)−3b2\displaystyle y = \frac{( d - 4 ) ^{2} + 3 b ^{2}}{d - b} ( x - b ) - 3 b ^{2} =−3b2b−1(x−b)−3b2\displaystyle = \frac{- 3 b ^{2}}{b - 1} ( x - b ) - 3 b ^{2} 두 직선의 교점을 구해보면 −3a2a−1(x−a)−3a2\displaystyle \frac{- 3 a ^{2}}{a - 1} ( x - a ) - 3 a ^{2}=−3b2b−1(x−b)−3b2\displaystyle = \frac{- 3 b ^{2}}{b - 1} ( x - b ) - 3 b ^{2} 정리하면 x=1x = 1 직선 P1Q1P _{1} Q _{1}의 방정식에 대입하면 y=0y = 0 직선P1Q1\mathrm{P} _{1} \mathrm{Q} _{1}과 직선P2Q2\mathrm{P} _{2} \mathrm{Q} _{2}의 교점의 좌표는 ∴(1,0)\therefore ( 1 , 0 )

태그

#접선의 기울기#포물선

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