두 포물선 둘레

[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 도형 문제를 해결한다.

포물선 $P _{1}$의 방정식은 $y ^{2} = 4 x$이고 포물선 $P _{2}$의 방정식은 $y ^{2} = 16 x$이다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 $P _{1}$의 준선 $x = \mathit{-} 1$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$라 하고, 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$에서 $P _{2}$의 준선 $x = \mathit{-} 4$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = {\overline{BF}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{AF} _{1}} = \overline{\mathrm{BF} _{1}}$$= k + 1$이고 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표는 각각 $\displaystyle - 2 \sqrt{k}$, $\displaystyle 2 \sqrt{k}$이므로 $\displaystyle l _{1} = 2 \left( k + 1 \right) + 4 \sqrt{k}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CG}} = \overline{DH}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{CF} _{2}} = \overline{\mathrm{DF} _{2}}$$= k + 4$이고 점 $\mathrm{C}$와 점 $\mathrm{D}$의 $y$좌표는 각각 $\displaystyle - 4 \sqrt{k}$, $\displaystyle 4 \sqrt{k}$이므로 $\displaystyle l _{2} = 2 \left( k + 4 \right) + 8 \sqrt{k}$ 따라서 $l _{2} - l _{1}$$\displaystyle = 6 + 4 \sqrt{k}$$= 11$ $\displaystyle k = \left( \frac{5}{4} \right) ^{2} = \frac{25}{16}$이므로 $32 k = 50$