두 포물선 초점 원 교점

중심이 $C _{1}$위에 있고 점 $\mathrm{F} _{1}$을 지나는 원을 $k _{1}$이라 하고 포물선 $x ^{2} = 4 y$위의 원 $k _{1}$의 중심을 $Q _{1}$이라 하면 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{Q _{1} F _{1}}} = \mathit{k} _{1}$의 반지름$\mathrm{=} ( Q _{1}$으로부터 준선 $y = - 1$에 이르는 거리) 이므로 원 $k _{1}$은 준선 $y = - 1$에 접한다. 따라서 원 $k _{1}$위의 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표$\geq - 1$이다. 같은 방법으로 중심이 $C _{2}$위에 있고 점 $\mathrm{F} _{2}$를 지나는 원을 $k _{2}$라 하고 포물선 $y ^{2} = 8 x$위의 원$k _{2}$의 중심을 $Q _{2}$라 하면 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{Q _{2} F _{2}}} = \mathit{k} _{2}$의 반지름$\mathrm{=} ( Q _{2}$로부터 준선 $x = - 2$까지의 거리)이므로 원 $k _{2}$는 준선 $x = - 2$에 접한다. 따라서 원 $k _{2}$위의 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표$\geq - 2$이다. 따라서 두 원 $k _{1} , k _{2}$의 교점 $\mathrm{P}$는 $x$좌표$\geq - 2 , y$좌표$\geq - 1$ 이므로 (나) 조건에 의하여 3사분면에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}}$가 최대일 때는 $\mathrm{P}$가 $( - 2 , - 1 )$에 있을 때이다. $\mathrm{P} ( - 2 , - 1 )$을 지나고 준선에 접하는 두 원이 $( x + 2 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 4$과 $\displaystyle \left( x - \frac{1}{8} \right) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} = \left( \frac{17}{8} \right) ^{2}$로 존재하므로 $\mathrm{P} ( - 2 , - 1 )$은 조건을 만족한다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}}$의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{5}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} ^{2}$의 최댓값은 $5$이다.