공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

두 이차함수 f(x)=x2+ax+bf \left( x \right) = x ^{2} + ax + b, g(x)=−x2+cx+dg \left( x \right) = \mathit{-} x ^{2} + cx + d에 대하여 그림과 같이 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프는 xx축에 접하고, 두 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)와 y=g(x)y = g \left( x \right)의 그래프는 제11사분면과 제22사분면에서 만난다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

y=f(x)y = f \left( x \right) y=g(x)y = g \left( x \right)

<보 기>
ㄱ. a2−4b=0a ^{2} - 4 b = 0 ㄴ. a2−4d<0a ^{2} - 4 d < 0 ㄷ. (a−c)2−8(b−d)>0\left( a - c \right) ^{2} - 8 \left( b - d \right) > 0

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계 추론하기

y=f(x)y = f ( x ) y=g(x)y = g ( x )

ㄱ. y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프가 xx축에 접하므로 방정식 f(x)=0f \left( x \right) = 0의 판별식 D=a2−4b=0D = a ^{2} - 4 b = 0이다. ㄴ. ㄱ에 의하여 b=a24\displaystyle b = \frac{a ^{2}}{4}이므로 a2−4d=4b−4da ^{2} - 4 d = 4 b - 4 d이다. b−d<0b - d < 0이므로 a2−4d<0a ^{2} - 4 d < 0이다. ㄷ. 두 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나므로 이차방정식 f(x)=g(x)f \left( x \right) = g \left( x \right)는 서로 다른 두 실근을 갖는다. x2+ax+b=−x2+cx+dx ^{2} + ax + b = \mathit{-} x ^{2} + cx + d 2x2+(a−c)x+b−d=02 x ^{2} + \left( a - c \right) x + b - d = 0의 판별식 D=(a−c)2−8(b−d)>0D = \left( a - c \right) ^{2} - 8 \left( b - d \right) > 0이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

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