대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 외접원 중심 거리

문제

그림과 같이 BC‾=3677\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{36 \sqrt{7}}{7}, sin⁡(∠BAC)=277\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{BAC} \right) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}, ∠ACB=π3\displaystyle \angle \mathrm{ACB} \mathit{=} \frac{\pi}{3} 인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외접원의 중심을 O\mathrm{O}, 직선 AO\mathrm{AO}가 변 BC\mathrm{BC}와 만나는 점을 D\mathrm{D}라 하자. 삼각형 ADC\mathrm{ADC}의 외접원의 중심을 O′\mathrm{O} \mathit{'}이라 할 때, AO′‾=53\displaystyle {\overline{\mathrm{AO} \mathit{'}}} = 5 \sqrt{3}이다. OO′‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{OO} \mathit{'}}} ^{2}의 값은? (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, 0<∠BAC<π2\displaystyle 0 < \angle \mathrm{BAC} \mathit{<} \frac{\pi}{2})\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right) [4점]

①21\mathrm{21}②914\displaystyle \frac{91}{4}③492\displaystyle \frac{49}{2}④1054\displaystyle \frac{105}{4}⑤28\mathrm{28}

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①

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해설

삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외접원을 C1C _{1}, 삼각형 ADC\mathrm{ADC}의 외접원을 C2C _{2}라 하자. 원 C1C _{1}의 반지름의 길이를 RR이라 하면 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 사인법칙에 의하여 BC‾sin⁡(∠BAC)=3677277=18=2R\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{BAC} \right)} = \frac{\frac{36 \sqrt{7}}{7}}{\frac{2 \sqrt{7}}{7}} = 18 = 2 R, R=9R = 9 원 C2C _{2}에서 ∠AO′D\angle \mathrm{AO} \mathit{'} \mathrm{D}는 호 AD\mathrm{AD}의 중심각, ∠ACD\angle \mathrm{ACD}는 호 AD\mathrm{AD}의 원주각이므로 ∠AO′D=2∠ACD=23π\displaystyle \angle \mathrm{AO} \mathit{'} \mathrm{D} \mathit{=} 2 \angle \mathrm{ACD} \mathit{=} \frac{2}{3} \pi 이등변삼각형 O′AD\mathrm{O} \mathit{'} \mathrm{AD}에서 ∠AO′D=23π\displaystyle \angle \mathrm{AO} \mathit{'} \mathrm{D} \mathit{=} \frac{2}{3} \pi이므로 ∠DAO′=π6\displaystyle \angle \mathrm{DAO} \mathit{'} = \frac{\pi}{6} OA‾=R=9\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = R = 9, AO′‾=53\displaystyle {\overline{\mathrm{AO} \mathit{'}}} = 5 \sqrt{3} ∠OAO′=π6\displaystyle \angle \mathrm{OAO} \mathit{'} = \frac{\pi}{6}이므로 삼각형 AOO′\mathrm{AOO} \mathit{'}에서 코사인법칙에 의하여 OO′‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{OO} \mathit{'}}} ^{2}=92+(53)2−2×9×53×cos⁡π6\displaystyle \mathrm{=} 9 ^{2} + \left( 5 \sqrt{3} \right) ^{2} - 2 \times 9 \times 5 \sqrt{3} \times \cos \frac{\pi}{6} =81+75−135=21= 81 + 75 - 135 = 21 따라서 OO‾′‾=21\displaystyle \mathrm{\overline{{\overline{OO}}'}} = 21

태그

#사인법칙#코사인법칙

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