공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 무리함수 기울기

문제

그림과 같이 양수 $a$ 에 대하여 직선 $x = a$ 와 두 곡선 $\displaystyle y = \sqrt{x}$ , $\displaystyle y = \sqrt{3 x}$ 가 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{B}$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선이 곡선 $\displaystyle y = \sqrt{x}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하고, 점 $\mathrm{C}$ 를 지나고 $y$ 축과 평행한 직선이 곡선 $\displaystyle y = \sqrt{3 x}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{D}$ 를 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{4}$ 일 때, $a$ 의 값을 구하시오. [4점]

$\displaystyle y = \sqrt{x}$ $\displaystyle y = \sqrt{3 x}$

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[출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( a , \sqrt{a} \right)$ , $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( a , \sqrt{3 a} \right)}$ 점 $\mathrm{C}$ 의 $y$ 좌표는 점 $\mathrm{B}$ 의 $y$ 좌표와 같으므로 $\displaystyle \sqrt{x} = \sqrt{3 a}$ , $x = 3 a$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( 3 a , \sqrt{3 a} \right)}$ , $\displaystyle \mathrm{D} \mathit{\left( 3 a , 3 \sqrt{a} \right)}$ 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{D}$ 를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{a} - \sqrt{a}}{3 a - a} = \frac{\sqrt{a}}{a} = \frac{1}{\sqrt{a}}$ ( $\because$ $a > 0$ ) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{4}$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{a} = 4$ $\therefore$ $a = 16$

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