두 지수함수 사이 거리 조건

$f ( x ) = a ^{x+1} - b ^{x}$라 하자. $\displaystyle f ( x ) = b ^{x} \left\{ a \left( \frac{a}{b} \right) ^{x} - 1 \right\}$이므로, $a \geq b$이면 $x \geq 1$에서 $f ( x )$는 증가함수

ⅰ) $a \geq b$일 때, $x \geq 1$에서 $f ( x )$의 최솟값은 $f ( 1 )$이고 $f ( 1 ) = a ^{2} - b \geq a ^{2} - a > 0$이므로 $\therefore a ^{2} - b \leq 10$ 가능한 경우는 $a = 2$일 때 $b = 2$ $a = 3$일 때 $b = 2 , 3$ $a \geq 4$이면 $a ^{2} - b \geq a ^{2} - a \geq 12$ 가능한 경우는 $( 2 , 2 )$, $( 3 , 2 )$, $( 3 , 3 )$의 $3$가지 ⅱ) $a < b$일 때 $f ( x ) = 0$의 근을 $\alpha$라 하자. $a < 1$이면 [그림$1$]에서 $| f ( x ) |$의 최솟값은 $f ( 1 )$ $a \geq 1$이면 [그림$2$]에서 $| f ( x ) |$의 최솟값은 $0$ $\therefore f ( 1 ) < 0$이면 $- 10 \leq f ( 1 ) < 0$이어야 하고, $f ( 1 ) \geq 0$이면 항상 성립한다. $\therefore f ( 1 ) \geq - 10$이면 항상 성립한다. $2 \leq a < b \leq 10$에서 $( a , b )$의 순서쌍은 $\mathrm{_{9}} C _{2} = 36$(개) 따라서, ⅰ), ⅱ)에서 구하는 순서쌍은 $3 + 36 = 39$(개)이다.