두 지수곡선 사이 격자점

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고 주어진 영역에서 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구할 수 있는가? 두 지수함수 $y = 4 ^{x}$, $y = a ^{-x+4}$의 교점을 $\mathrm{P} \mathit{(} \alpha , 4 ^{\alpha} )$이라 하면 $4 ^{\alpha} = a ^{-\alpha +4}$, $\displaystyle \alpha = \frac{4 \log a}{\log 4 a}$ 교점의 위치에 따라 다음과 같은 경우로 나누어 생각하면 ⅰ) $1 \leq \alpha < 2$일 때 $\displaystyle 1 \leq \frac{4 \log a}{\log 4 a} < 2$를 풀면 $\displaystyle \sqrt[3]{4} \leq a < 4$ …… ㉠

영역내 $x$좌표가 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$인 점의 개수의 합은 $1 + 4 + a ^{2} + a + 1$이므로 $20 \leq a ^{2} + a + 6 \leq 40$ …… ㉡ ㉠, ㉡을 모두 만족하는 자연수 $a$는 없다. ⅱ) $2 \leq \alpha < 3$일 때 $\displaystyle 2 \leq \frac{4 \log a}{\log 4 a} < 3$을 풀면 $4 \leq a < 64$ …… ㉢

영역내 $x$좌표가 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$인 점의 개수의 합은 $1 + 4 + 16 + a + 1$이므로 $20 \leq a + 22 \leq 40$ …… ㉣ ㉢, ㉣을 모두 만족하는 $a$의 범위는 $4 \leq a \leq 18$이므로 자연수 $a$의 개수는 $15$개이다. ⅲ) $3 \leq \alpha < 4$일 때

영역내 $x$좌표가 $0$, $1$, $2$, $3$인 점의 개수의 합이 $1 + 4 + 16 + 64$이므로 조건을 만족하지 않는다. ⅰ), ⅱ), ⅲ)으로부터 $a$의 개수는 $15$개다.