공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 집합의 포함 관계와 원의 방정식

문제

양수 kk에 대하여 두 집합 A,B\mathrm{A} , B가 다음과 같을 때, A∪B=B\mathrm{A} \cup B = B를 만족시키는 kk의 최솟값은? [4점] A={(x,y)∣x≥0,y≥kx,x+y≤k}{\mathrm{A}} = \left\{ ( x , y ) | x \geq 0 , y \geq kx , x + y \leq k \right\}, B={(x,y)∣x2+(y−k)2≤k2}{\mathrm{B}} = \left\{ ( x , y ) | x ^{2} + ( y - k ) ^{2} \leq k ^{2} \right\} ①2−3\displaystyle 2 - \sqrt{3}②2−1\displaystyle \sqrt{2} - 1③3−1\displaystyle \sqrt{3} - 1④1+2\displaystyle 1 + \sqrt{2}⑤1+3\displaystyle 1 + \sqrt{3}

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②

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해설

영역을 그림으로 나타내면,

이 때 점이 원 내부와 경계에 존재하려면, 원의 중심과 교점사이의 거리가 원의 반지름보다 작거나 같아야한다. k2(k+1)2+(k2(k+1)−k)2≤k2\displaystyle \frac{k ^{2}}{( k + 1 ) ^{2}} + \left( \frac{k ^{2}}{( k + 1 )} - k \right) ^{2} \leq k ^{2} 정리하면 2≤(k+1)22 \leq ( k + 1 ) ^{2} ∴\therefore2−1≤k\displaystyle \sqrt{2} - 1 \leq k (∵k>0)( \because k > 0 )

태그

#원의 방정식#점과 직선 사이의 거리#집합의 포함관계

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