두 직선과 두 축이 만드는 사각형의 넓이를 이등분하는 직선

실마리: 대각선 $\mathrm{OP}$로 사각형을 두 삼각형으로 나누어 넓이를 비교하면, 이등분하는 직선이 어느 변과 만나는지 정해진다. 두 식을 빼면 $2 x = 6$, $x = 3$, $y = 3$이므로 $\mathrm{P} \mathit{(} 3 , 3 )$ 직선 $l$에서 $y = 0$이면 $x = 6$이므로 $\mathrm{A} \mathit{(} 6 , 0 )$, 직선 $m$에서 $x = 0$이면 $y = 12$이므로 $\mathrm{B} \mathit{(} 0 , 12 )$ 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$ (밑변 $\mathrm{OA}$, 높이는 $\mathrm{P}$의 $y$좌표) 삼각형 $\mathrm{OPB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18$ (밑변 $\mathrm{OB}$, 높이는 $\mathrm{P}$의 $x$좌표) 사각형 $\mathrm{OAPB}$의 넓이는 $9 + 18 = 27$이므로 이등분하는 직선은 넓이를 $\displaystyle \frac{27}{2}$씩 나눈다. 삼각형 $\mathrm{OAP}$의 넓이 $9$가 $\displaystyle \frac{27}{2}$보다 작으므로 구하는 직선은 변 $\mathrm{PB}$와 만난다. 그 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 (삼각형 $\mathrm{OQB}$의 넓이) $\displaystyle = \frac{27}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times 12 \times$ ($\mathrm{Q}$의 $x$좌표) $\displaystyle = \frac{27}{2}$에서 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{9}{4}$ 점 $\mathrm{Q}$는 직선 $m$ 위의 점이므로 $\displaystyle y = - 3 \cdot \frac{9}{4} + 12 = \frac{21}{4}$, 즉 $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( \frac{9}{4} , \frac{21}{4} \right)}$ 직선 $\mathrm{OQ}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{21}{4} \div \frac{9}{4} = \frac{7}{3}$ (검산: 사각형 $\mathrm{OAPQ}$의 넓이는 $9 +$(삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이)$\displaystyle = 9 + \left( 18 - \frac{27}{2} \right) = \frac{27}{2}$이다.) 따라서 $p = 3$, $q = 7$이므로 $p + q = 10$