공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 직선에 접하는 포물선

문제

이차함수 y=x2+ax+by = x ^{2} + ax + b의 그래프가 두 직선 y=−x+4y = - x + 4와 y=5x+7y = 5 x + 7에 동시에 접할 때, 두 상수 aa, bb의 곱 abab의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선이 접할 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. (ⅰ) y=x2+ax+by = x ^{2} + ax + b와 y=−x+4y = - x + 4가 접할 때 x2+ax+b=−x+4x ^{2} + ax + b = - x + 4에서 x2+(a+1)x+b−4=0x ^{2} + ( a + 1 ) x + b - 4 = 0 D=(a+1)2−4(b−4)=0D = ( a + 1 ) ^{2} - 4 ( b - 4 ) = 0 ……㉠ (ⅱ) y=x2+ax+by = x ^{2} + ax + b와 y=5x+7y = 5 x + 7이 접할 때, x2+ax+b=5x+7x ^{2} + ax + b = 5 x + 7에서 x2+(a−5)x+b−7=0x ^{2} + ( a - 5 ) x + b - 7 = 0 D=(a−5)2−4(b−7)=0D = ( a - 5 ) ^{2} - 4 ( b - 7 ) = 0 ……㉡ ㉠-㉡에서 12a−36=012 a - 36 = 0 ∴ a=3a = 3 또, ㉠에서 b=8b = 8 ∴ ab=3×8=24ab = 3 \times 8 = 24

태그

#판별식#이차함수와 직선

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