미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 직선에 접하는 두 원

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 원점을 지나는 서로 다른 두 직선 ll, mm이 이루는 예각의 크기를 θ\theta라 하자. 반지름의 길이가 11, 33인 두 원 C1\mathrm{C} _{1}, C2\mathrm{C} _{2}가 제11사분면 위에서 두 직선 ll, mm에 동시에 접하고 C1C2‾=210\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} C _{2}}} = 2 \sqrt{10}일 때, 120tan⁡θ120 \tan \theta의 값을 구하시오. [3점]

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해설

그림에서 AC2‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AC _{2}}} = 2, C1C2‾=210\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} C _{2}}} = 2 \sqrt{10}이므로 AC1‾=(210)2−22=36=6\displaystyle \mathrm{\overline{AC _{1}}} = \sqrt{\left( 2 \sqrt{10} \right) ^{2} - 2 ^{2}} = \sqrt{36} = 6 ∠C2C1A=θ2\displaystyle \mathrm{\angle} C _{2} C _{1} A = \frac{\theta}{2}이므로 tan⁡θ2=26=13\displaystyle \tan \frac{\theta}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

tan⁡θ=2tan⁡θ21−tan⁡2θ2\displaystyle \tan \theta = \frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{1 - \tan ^{2} \frac{\theta}{2}} =231−19=34\displaystyle = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4} ∴120tan⁡θ=90\therefore 120 \tan \theta = 90

태그

#탄젠트 배각공식#원의 접선

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