두 직선 위의 점과 삼각형의 둘레의 최소

점 $\mathrm{A}$ 를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$, $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}''$ 이라 하면 $\mathrm{A}' ( 1 , 7 )$, $\mathrm{A}'' ( 7 , - 1 )$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{QA}} = \overline{\mathrm{QA}''}$ 삼각형 $\mathrm{APQ}$ 의 둘레의 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QA}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QA}''} \geq \overline{\mathrm{A}' A''}$ 이고 등호는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 가 모두 선분 $\mathrm{A}' A''$ 위에 있을 때 성립한다. 직선 $\mathrm{A}' A''$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{- 1 - 7}{7 - 1} = - \frac{4}{3}$ 이므로 $\displaystyle y - 7 = - \frac{4}{3} ( x - 1 )$ 직선 $y = x$ 와는 $\displaystyle x = \frac{25}{7}$ 에서, $x$축과는 $\displaystyle x = \frac{25}{4}$ 에서 만나고 두 점 모두 선분 $\mathrm{A}' A''$ 위에 있으므로 등호가 성립하는 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 가 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' A''} = \sqrt{( 7 - 1 ) ^{2} + ( - 1 - 7 ) ^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10$ 따라서 둘레의 길이의 최솟값은 $10$이다.