두 직선 위의 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 둘레의 최솟값

실마리: 둘레 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QA}}$에서 점 $\mathrm{A}$를 두 직선에 대하여 각각 대칭이동하면 세 선분을 한 줄로 펼 수 있다. 점 $\mathrm{A} ( 7 , 1 )$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$이라 하면 $\mathrm{A}' ( 1 , 7 )$이고, 직선 $y = x$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}$ 점 $\mathrm{A} ( 7 , 1 )$을 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}''$이라 하면 $\mathrm{A}'' ( 7 , - 1 )$이고, $x$축 위의 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{QA}} = \overline{\mathrm{QA}''}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QA}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QA}''} \geq \overline{\mathrm{A}' A''}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' A''} = \sqrt{( 7 - 1 ) ^{2} + ( - 1 - 7 ) ^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10$ 등호는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 선분 $\mathrm{A}' A''$ 위에 있을 때 성립하고, 선분 $\mathrm{A}' A''$은 직선 $y = x$와 점 $\displaystyle \left( \frac{25}{7} , \frac{25}{7} \right)$에서, $x$축과 점 $\displaystyle \left( \frac{25}{4} , 0 \right)$에서 차례로 만나므로 등호가 성립하는 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 실제로 존재한다. 따라서 삼각형 $\mathrm{APQ}$의 둘레의 길이의 최솟값은 $10$이다.