두 접선이 y축에서 자른 길이

기울기가 $m$ 인 직선을 $y = mx + k$, 즉 $mx - y + k = 0$ 이라 하자. 이 직선이 원 $x ^{2} + y ^{2} = 4$ 에 접하므로 원의 중심 $( 0 , 0 )$ 과 이 직선 사이의 거리가 반지름의 길이 $2$ 와 같다. $\displaystyle \frac{| k |}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 2$ 에서 $\displaystyle k = 2 \sqrt{m ^{2} + 1}$ 또는 $\displaystyle k = - 2 \sqrt{m ^{2} + 1}$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 의 $y$ 좌표가 각각 $\displaystyle 2 \sqrt{m ^{2} + 1}$, $\displaystyle - 2 \sqrt{m ^{2} + 1}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 4 \sqrt{m ^{2} + 1} = 8$ $\displaystyle \sqrt{m ^{2} + 1} = 2$ 이므로 $m ^{2} + 1 = 4$ 따라서 $m ^{2} = 3$ 이다. (검산) $\displaystyle m = \sqrt{3}$ 일 때 두 접선은 $\displaystyle y = \sqrt{3} x + 4$, $\displaystyle y = \sqrt{3} x - 4$ 이고 원점과 각 직선 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3 + 1}} = 2$ 로 반지름의 길이와 같다.