미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 접선과 각의 코사인

문제

그림과 같이 기울기가 −13\displaystyle - \frac{1}{3}인 직선 ll이 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1과 점 A\mathrm{A}에서 접하고, 기울기가 11인 직선 mm이 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1과 점 B\mathrm{B}에서 접한다. 100cos⁡2(∠AOB)100 \cos ^{2} \left( \angle \mathrm{AOB} \right)의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

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2020

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 문제를 해결한다. 두 직선 ll과 mm이 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1과 접하는 점이 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}이므로 ⊗OA⊥l\otimes \mathrm{O} A \perp \mathit{l}, ⊗OB⊥m\otimes \mathrm{O} B \perp \mathit{m} 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1이 xx축의 양의 방향과 만나는 점을 X\mathrm{X}라 하고, ∠AOX=α\angle \mathrm{AOX} = \mathit{\alpha}라 하자.

ⅰ) 점 A\mathrm{A}가 제11사분면에 있고, 점 B\mathrm{B}가 제44사분면에 있을 때 직선 OA\mathrm{OA}가 직선 ll과 수직이므로 직선 OA\mathrm{OA}의 기울기는 33이다. 따라서 tan⁡α=3\tan \alpha = 3, cos⁡α=1010\displaystyle \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}, sin⁡α=31010\displaystyle \sin \alpha = \frac{3 \sqrt{10}}{10} 직선 OB\mathrm{OB}가 직선 mm과 수직이므로 직선 OB\mathrm{OB}의 기울기는 −1- 1이다. 따라서 ∠XOB=π4\displaystyle \angle \mathrm{XOB} = \frac{\pi}{4} cos⁡(∠AOB)=cos⁡(α+π4)\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{AOB} \right) = \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) =cos⁡αcos⁡π4−sin⁡αsin⁡π4\displaystyle = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{4} - \sin \alpha \sin \frac{\pi}{4} =22(cos⁡α−sin⁡α)\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos \alpha - \sin \alpha \right) =22(1010−31010)\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{\sqrt{10}}{10} - \frac{3 \sqrt{10}}{10} \right) =22×(−105)=−55\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \left( - \frac{\sqrt{10}}{5} \right) = - \frac{\sqrt{5}}{5} ⅱ) 점 A\mathrm{A}가 제11사분면에 있고, 점 B\mathrm{B}가 제22사분면에 있을 때 tan⁡α=3\tan \alpha = 3, cos⁡α=1010\displaystyle \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}, sin⁡α=31010\displaystyle \sin \alpha = \frac{3 \sqrt{10}}{10} 직선 OB\mathrm{OB}가 직선 mm과 수직이므로 직선 OB\mathrm{OB}의 기울기는 −1- 1이다. 따라서 ∠XOB=34π\displaystyle \angle \mathrm{XOB} = \frac{3}{4} \pi cos⁡(∠AOB)=cos⁡(34π−α)\displaystyle \cos \left( \angle \mathrm{AOB} \right) = \cos \left( \frac{3}{4} \pi - \alpha \right) =cos⁡34πcos⁡α+sin⁡34πsin⁡α\displaystyle = \cos \frac{3}{4} \pi \cos \alpha + \sin \frac{3}{4} \pi \sin \alpha =22(−cos⁡α+sin⁡α)\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( - \cos \alpha + \sin \alpha \right) =22(−1010+31010)\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( - \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{3 \sqrt{10}}{10} \right) =22×105=55\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{10}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} ⅲ) 점 A\mathrm{A}가 제33사분면에 있고, 점 B\mathrm{B}가 제22사분면에 있을 때 cos⁡(∠AOB)=−55\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{A} OB ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}이다. ⅳ) 점 A\mathrm{A}가 제33사분면에 있고, 점 B\mathrm{B}가 제44사분면에 있을 때 cos⁡(∠AOB)=55\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{A} OB ) = \frac{\sqrt{5}}{5}이다. ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)로부터 cos⁡(∠AOB)=−55\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{A} OB ) = - \frac{\sqrt{5}}{5} 또는 cos⁡(∠AOB)=55\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{A} OB ) = \frac{\sqrt{5}}{5} 100cos⁡2(∠AOB)=100×15=20\displaystyle 100 \cos ^{2} \left( \angle \mathrm{AOB} \right) = 100 \times \frac{1}{5} = 20

태그

#삼각함수의 덧셈정리#원의 접선

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