미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 접선 예각

문제

두 함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{x}$ , $\displaystyle g ( x ) = \frac{k}{x}$ ( $k > 1$ )에 대하여 좌표평면에서 직선 $x = 2$ 가 두 곡선 $y = f ( x )$ , $y = g ( x )$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 라 하자. 곡선 $y = f ( x )$ 에 대하여 점 $\mathrm{P}$ 에서의 접선을 $l$ , 곡선 $y = g ( x )$ 에 대하여 점 $\mathrm{Q}$ 에서의 접선을 $m$ 이라 하자. 두 직선 $l$ , $m$ 이 이루는 예각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ 일 때, 상수 $k$ 에 대하여 $3 k$ 의 값을 구하시오. [4점]

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20

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해설

$\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{x}$ , $\displaystyle g ( x ) = \frac{k}{x}$ 이므로 $\displaystyle f' ( x ) = - \frac{1}{x ^{2}}$ , $\displaystyle g' ( x ) = - \frac{k}{x ^{2}}$ 직선 $l$ 과 $m$ 이 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 $\alpha$ , $\beta$ 라 하면 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 의 $x$ 좌표가 모두 $2$ 이므로 $\displaystyle \tan \alpha = f' ( 2 ) = - \frac{1}{4}$ , $\displaystyle \tan \beta = g' ( 2 ) = - \frac{k}{4}$ 두 직선 $l$ , $m$ 이 이루는 예각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ 이므로 $\left| \tan ( \beta - \alpha ) \right| = 1$ $\displaystyle \left| \frac{- \frac{k}{4} - \left( - \frac{1}{4} \right)}{1 + \left( - \frac{k}{4} \right) \left( - \frac{1}{4} \right)} \right| = 1$ $4 | k - 1 | = | 16 + k |$ 그런데 $k > 1$ 이므로 $4 ( k - 1 ) = 16 + k$ ∴ $3 k = 20$

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