미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 접선 사잇각

문제

함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{2 x}{x + 1}$ 의 그래프 위의 두 점 $( 0 , 0 )$ , $( 1 , 1 )$ 에서의 접선을 각각 $l$ , $m$ 이라 하자. 두 직선 $l$ , $m$ 이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $12 \tan \theta$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

$\displaystyle f ( x ) = \frac{2 x}{x + 1} = 2 - \frac{2}{x + 1}$ , $\displaystyle f' ( x ) = \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}}$ $f' ( 0 ) = 2$ , $\displaystyle f' ( 1 ) = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \tan \theta = \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \times \frac{1}{2}}$ $\displaystyle = \frac{3}{4}$ , $\therefore$ $12 \tan \theta = 9$

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