두 접선 이등변삼각형

$\displaystyle y' = \frac{1}{2} x$ 이므로 두 점 $\displaystyle P \left( \sqrt{2} , \frac{1}{2} \right)$, $\displaystyle Q \left( a , \frac{a ^{2}}{4} \right)$ 에서의 접선의 기울기는 각각 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \frac{1}{2} a$ 이다. 이 때, 두 접선이 $x$축과 이루는 양의 각의 크기를 각각 $\theta _{1}$, $\theta _{2}$라 하면 $\displaystyle \tan \theta _{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \tan \theta _{2} = \frac{1}{2} a$ $\theta _{2} = \theta _{1} + \theta _{1} = 2 \theta _{1}$ 이므로 $\tan \theta _{2} = \tan 2 \theta _{1}$ 이 때, $\displaystyle \tan \theta _{2} = \tan 2 \theta _{1} = \frac{2 \tan \theta _{1}}{1 - \tan ^{2} \theta _{1}}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} a = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \sqrt{2}$ $\therefore$ $\displaystyle a = 4 \sqrt{2}$ $\therefore$ $a ^{2} = 32$