미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 접점 사이 각 탄젠트

문제

두 직선 y=x+ay = x + a, y=13x+b\displaystyle y = \frac{1}{3} x + b가 원 x2+y2=r2x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}에 접하는 점을 각각 P1\mathrm{P} _{1}, P2\mathrm{P} _{2}라 하고 ∠P1OP2=α\mathrm{\angle} P _{1} O P _{2} = \alpha일 때, tan⁡α\tan \alpha의 값은? (단, a<0,b<0a < 0 , b < 0) [4점]

①14\displaystyle \frac{1}{4}②12\displaystyle \frac{1}{2}③34\displaystyle \frac{3}{4}④11⑤54\displaystyle \frac{5}{4}

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②

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해설

두 직선 y=x+a,y=13x+b\displaystyle y = x + a , y = \frac{1}{3} x + b와 xx축이 만나는 점을 각각 A,B\mathrm{A} , B라 하고 ∠OAP1=θ1\mathrm{\angle} OAP _{1} = \theta _{1}라 하면 tan⁡θ1=1\tan \theta _{1} = 1이므로 θ1=π4\displaystyle \theta _{1} = \frac{\pi}{4} 이다. 따라서 ∠AOP1=π4\displaystyle \mathrm{\angle} AOP _{1} = \frac{\pi}{4}이다 같은 방법으로 ∠OBP2=θ2\mathrm{\angle} OBP _{2} = \theta _{2} , tan⁡θ2=13\displaystyle \tan \theta _{2} = \frac{1}{3}이고 BP2‾=3r\displaystyle {\mathrm{\overline{BP _{2}}}} = 3 r이다. tan⁡(π4+α)=3\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = 3에 의해서 ∴tan⁡α=12\displaystyle \therefore \tan \alpha = \frac{1}{2}

태그

#덧셈정리#접선

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