두 정육면체 겉넓이

[출제의도] 곱셈공식을 활용한 문제해결하기 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}}} = x$, $\displaystyle {\mathrm{\overline{CB}}} = y$라 하면 $x + y = 8$이고, $x ^{3} + y ^{3} = 224$이다. 두 정육면체의 겉넓이의 합은 $6 ( x ^{2} + y ^{2} )$이므로 $xy$의 값을 구해야 한다. $( x + y ) ^{3} = ( x ^{3} + y ^{3} ) + 3 xy ( x + y )$이므로 $8 ^{3} = 224 + 3 xy \times 8$에 의해 $xy = 12$이다. $x ^{2} + y ^{2} = ( x + y ) ^{2} - 2 xy$를 이용하면 $x ^{2} + y ^{2} = 40$이고, 두 정육면체의 겉넓이의 합은 $240$이다. [다른풀이] $\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}}} = x$라 하면 $\displaystyle {\mathrm{\overline{CB}}} = 8 - x$이므로 $x ^{3} + ( 8 - x ) ^{3} = 224$ 이고, $x ^{3} - x ^{3} + 24 x ^{2} - 192 x + 512 = 224$이므로 $24 x ^{2} - 192 x + 288 = 0$이다. $x ^{2} - 8 x + 12 = 0$이므로 $( x - 6 ) ( x - 2 ) = 0$이다. $x = 6$ 또는 $x = 2$이므로 두 정육면체의 변의 길이는 각각 $6$과 $2$이다. 따라서 두 정육면체의 겉넓이는 $6 \times 6 ^{2} + 6 \times 2 ^{2} = 240$이다.