미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

두 정사각형 공통 넓이

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 A(1,0)\mathrm{A} \left( 1 , 0 \right), B(3,0)\mathrm{B} \left( 3 , 0 \right), C(3,2)\mathrm{C} \left( 3 , 2 \right), D(1,2)\mathrm{D} \left( 1 , 2 \right)를 꼭짓점으로 하는 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}가 있다. 한 변의 길이가 22인 정사각형 EFGH\mathrm{EFGH}의 두 대각선의 교점이 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 xx축 또는 yy축에 수직이다.) [4점]

①2+34\displaystyle \frac{2 + \sqrt{3}}{4}②1+22\displaystyle \frac{1 + \sqrt{2}}{2}③2+22\displaystyle \frac{2 + \sqrt{2}}{2}④334\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{4}⑤524\displaystyle \frac{5 \sqrt{2}}{4}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 정사각형 EFGH\mathrm{EFGH}의 두 대각선의 교점을 P\mathrm{P}라 하자. 동경 OP{\mathrm{OP}}가 나타내는 각을 θ\theta라 하면 공통부분이 생기는 θ\theta의 범위는 −π2<θ<π2\displaystyle - \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}이다. 점 P(cos⁡θ,sin⁡θ)\mathrm{P} \mathit{\left( \cos \theta , \sin \theta \right)}, 점 G(cos⁡θ+1,sin⁡θ+1)\mathrm{G} \mathit{\left( \cos \theta + 1 , \sin \theta + 1 \right)}이므로 공통부분의 넓이 S(θ)=cos⁡θ(sin⁡θ+1)\left. S \left( \theta \right) = \cos \theta \left( \sin \theta + 1 \right) \right. S′(θ)=cos⁡2θ−sin⁡θS' \left( \theta \right) = \cos 2 \theta - \sin \theta =−(sin⁡θ+1)(2sin⁡θ−1)=0= - \left( \sin \theta + 1 \right) \left( 2 \sin \theta - 1 \right) = 0 sin⁡θ=−1\sin \theta = - 1 또는 sin⁡θ=12\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2} ∴\therefore θ=π6\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6} (∵−π2<θ<π2)\displaystyle \left( \because - \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)

θ\theta−π2\displaystyle - \frac{\pi}{2}⋯\cdotsπ6\displaystyle \frac{\pi}{6}⋯\cdotsπ2\displaystyle \frac{\pi}{2}
S′(θ)S' ( \theta )++00−-
S(θ)S \left( \theta \right)↗\nearrow334\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{4}↘\searrow

S(θ)S \left( \theta \right)는 θ=π6\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}에서 극대이고 최댓값을 갖는다. 따라서 최댓값은 334\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{4}

태그

#삼각함수 미분#최댓값

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 도함수의 활용 문제 모음수능 문제 모음고난도 킬러 문제 모음
← 전체 문제 목록으로