두 정규분포 밀도 비교

조건 (가)에서 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{X} \leq 11 \right) = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{11 - a}{\sigma} \right)$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{Y} \geq 11 \right) = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \geq \frac{11 - 2 b + a}{\sigma} \right)$ $\mathrm{P} ( \mathit{X} \leq 11 ) = \mathrm{P} ( \mathit{Y} \geq 11 )$이므로 $\displaystyle \frac{11 - a}{\sigma} + \frac{11 - 2 b + a}{\sigma} = 0$ $\therefore$$b = 11$ 확률변수 $X$의 평균이 $a$, 확률변수 $Y$의 평균이 $22 - a$이고, 두 확률변수 $X$, $Y$의 표준편차가 같으므로 두 확률밀도함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$는 $x = 11$에 대하여 대칭인 함수이다.

$g \left( 10 \right) = f \left( 12 \right)$이므로 조건 (나)에서 $f \left( 17 \right) < g \left( 10 \right) = f \left( 12 \right) < f \left( 15 \right)$ $\left| 15 - a \right| < a - 12 < 17 - a$ $\displaystyle \frac{27}{2} < a < \frac{29}{2}$ $\therefore$$a = 14$ $\therefore$$a + b = 14 + 11 = 25$