미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 점의 속도 그래프

문제

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 시각 tt에서의 속도 vv가 각각 f(t)f ( t ), g(t)g ( t )이다. 그림과 같이 두 곡선 v=f(t)v = f ( t ), v=g(t)v = g ( t )로 둘러싸인 두 부분 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}의 넓이가 각각 S1S _{1}, S2S _{2}일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. S1=S2S _{1} = S _{2}이면 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}는 t=bt = b일 때 만난다. ㄴ. S1>S2S _{1} > S _{2}이면 ∫0bf(t)dt>∫0bg(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{b} f ( t ) dt > \int _{0} ^{b} g ( t ) dt ㄷ. S1<S2S _{1} < S _{2}이면 ∫0c{f(t)−g(t)}dt=0\displaystyle \int _{0} ^{c} {} \left\{ f ( t ) - g ( t ) \right\} dt = 0을 만족시키는 cc가 열린구간 (a,b)( a , b )에 존재한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 속도를 적분하면 이동거리가 됨을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. S1=S2S _{1} = S _{2}이면 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 이동거리가 같으므로 t=bt = b에서 만난다. ㄴ. S1>S2S _{1} > S _{2}이면 P\mathrm{P}의 이동거리가 Q\mathrm{Q}의 이동거리보다 크므로 ∫0bf(t)dt>∫0bg(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{b} f ( t ) dt > \int _{0} ^{b} g ( t ) dt이다. ㄷ. S1<S2S _{1} < S _{2}이면 P\mathrm{P}가 Q\mathrm{Q}보다 빨리 가다가 Q\mathrm{Q}가 P\mathrm{P}를 추월하여 지나가므로 이동거리가 같은 지점이 반드시 생긴다. 그 때의 시간을 t=ct = c라 하면 ∫0cf(t)dt=∫0cg(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{c} f ( t ) dt = \int _{0} ^{c} g ( t ) dt인 cc가 열린구간 (a,b)( a , b ) 안에 존재한다.

태그

#속도와 거리#정적분

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