미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 점이 만날 k 최소

문제

수직선 위에서 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 가 있다. 출발한 지 $t$ 초 후 두 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 의 위치가 각각 $x _{1} ( t ) = kt$ , $x _{2} ( t ) = t ^{3} - 3 t ^{2} + 27$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 가 적어도 한 번 만나게 되는 상수 $k$ 의 최소값을 구하시오. [4점]

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9

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해설

[출제의도] 접선의 방정식을 이용하여 최소값 구하기 $\mathrm{P} , Q$ 가 만나기 위해서는 $x _{1} ( t )$ 와 $x _{2} ( t )$ 가 교점 을 가져야 한다. $x _{1} ( t )$ 의 기울기 $k$ 는 원점에서 $x _{2} ( t )$ 에 그은 접선의 기울기보다 크거나 같아야 한다. (단, $t \geq 0$ ) $x _{2} ( t )$ 위의 한 점을 $( a , a ^{3} - 3 a ^{2} + 27 )$ 이라 하면 접선의 방정식은 $y - ( a ^{3} - 3 a ^{2} + 27 ) = ( 3 a ^{2} - 6 a ) ( x - a )$ 이고 이 접선이 원점을 지나므로 $2 a ^{3} - 3 a ^{2} - 27 = 0$ $( a - 3 ) ( 2 a ^{2} + 3 a + 9 ) = 0$ $a = 3$ 일 때 접선의 기울기는 $9$ 이므로 $k$ 의 최소값은 $9$ 이다.

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