두 점이 한 번 만남

출발한 후 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 만나는 시각을 $t = k \left( k > 0 \right)$이라 하자. $\displaystyle \int _{0} ^{k} {} \left( - 3 t ^{2} + at \right) dt - \int _{0} ^{k} {} \left( - t + 1 \right) dt = 0$ $\displaystyle \int _{0} ^{k} {} \left\{ \left( - 3 t ^{2} + at \right) - \left( - t + 1 \right) \right\} dt = 0$ $\displaystyle - k ^{3} + \frac{a + 1}{2} k ^{2} - k = 0$, $\displaystyle k \left( k ^{2} - \frac{a + 1}{2} k + 1 \right) = 0$ 이차방정식 $\displaystyle k ^{2} - \frac{a + 1}{2} k + 1 = 0$이 양수인 근을 가지고 근과 계수와의 관계에서 두 근의 곱이 $\mathrm{1}$이므로 이차방정식의 판별식 $D$에 대하여 $D = 0$이다. $\displaystyle D = \left( \frac{a + 1}{2} \right) ^{2} - 4 = 0$, $a = 3$ 시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{3} {} \left| v _{1} \left( t \right) \right| dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} \left| - 3 t ^{2} + 3 t \right| dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} \left( - 3 t ^{2} + 3 t \right) dt + \int _{1} ^{3} {} \left( 3 t ^{2} - 3 t \right) dt$$\displaystyle = \frac{29}{2}$