두 점이 한 번 만날 조건

[출제의도] 속도와 위치의 관계를 이해하여 상수의 값을 구한다. 시각 $t$에서 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 위치를 각각 $x _{1} ( t )$, $x _{2} ( t )$라 하면 $\displaystyle x _{1} ( t ) = t ^{3} - \frac{15}{2} t ^{2} + kt$, $\displaystyle x _{2} ( t ) = \mathit{-} t ^{3} + \frac{9}{2} t ^{2}$ 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 출발한 후 한 번만 만나므로 $t > 0$에서 방정식 $x _{1} ( t ) = x _{2} ( t )$의 서로 다른 실근의 개수는 $1$이다. $x _{1} ( t ) - x _{2} ( t )$$= t ( 2 t ^{2} - 12 t + k )$$= 0$에서 $k > 0$이고 $t > 0$이므로 이차방정식 $2 t ^{2} - 12 t + k = 0$은 중근을 가져야 한다. 이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 $D = ( - 12 ) ^{2} - 4 \times 2 \times \mathit{k} = 0$ 따라서 $k = 18$