미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 점이 다시 만나는 시각

문제

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 시각 t(t≥0)t ( t \geq 0 )에서의 속도가 각각 3t2+6t−63 t ^{2} + 6 t - 6, 10t−610 t - 6이다. 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}가 출발 후 t=at = a에서 다시 만날 때, 상수 aa의 값은? [4점]

①11②32\displaystyle \frac{3}{2}③22④52\displaystyle \frac{5}{2}⑤33

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③

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해설

[출제의도] 정적분을 활용하여 속도와 거리 이해하기 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}가 출발 후 t=at = a((a>0a > 0))에서 다시 만나므로 ∫0a(3t2+6t−6)dt=∫0a(10t−6)dt\displaystyle \int _{0} ^{a} {( 3 t ^{2} + 6 t - 6 ) dt} = \int _{0} ^{a} {( 10 t - 6 ) dt} a3+3a2−6a=5a2−6aa ^{3} + 3 a ^{2} - 6 a = 5 a ^{2} - 6 a a3−2a2=a2(a−2)=0a ^{3} - 2 a ^{2} = a ^{2} ( a - 2 ) = 0 따라서 a=2a = 2

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#속도#위치#정적분

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